الإتصال : هو معرفة تتابع نتائج الدالة و تسلسلها , إن لم تكن متسلسلة فهي منقطعة و ليست متصلة , و لو رسمتها سيتضح لك ذلك .

( شرح يمكنكم أن لا تقرؤه )
و المفهوم الأكثر وضوحاً , هو عندما تشبه بيان الدالة ( منحنى الدالة المرسوم ) بخيط , فعندما نريد دراسة إتصال الخيط , فنحن نبحث جميع الإحتالات التي قد تجعل من الخيط منقطع , مثلاً لو أخذنا خيطان غير متصلان ببعض ( نفترض بأنَّه دالة منقطعة ) عندما نريد التحقق إن كانت الدالة ككل ( الخيطان ) متصلة أم منقطعة , فالإحتمالات التي سنتوقع أنَّ الدالة ستنفصل عندها هو أطراف الخيط , فنبحث إن كان طرفا الخيط الأول متصلاً بخيط آخر أم لا , و هي أن نرى نهاية الخيط إن كان بجانبها خيط آخر أم لا , إن لم يوجد خيط بجان ذلك الخيط فإنَّ الدالة منقطعة , و ذلك يتم عن طريق معرفة نهاية طرف الخيط الآخر هل هي في نفس موضع طرف الخيط الأول أم لا , و لكن هذا كله لا يكفي للتأكد إن كانت الدالة متصلة أم لا , فقد يكونان الخيطان متجاوران و لا يكونان مرتبطان , فنبحث إن كان هنالك عقدة على الخيطين أم لا , و ذلك يتم رياضياً عن طريق مقارنة قيمة الدالة عند تلك النقطة , و نهاية الطرفين عند تلك النقطة أيضاً .

الإشتقاق , و يسمى كذلك التفاضل : و هو إيجاد ميل مماس المنحنى أو الدالة .

( شرح يمكنكم أن لا تقرؤه )
عندما نتأكد من إتصال الدالة ( الخيط ) نقوم بوضع خط يمس الخيط عند نقطة ما ( درسنا الإتصال حتى نتأكد من وجود نقطة ليمسها المماس , فلو كانت الدالة منقطعة فلا يوجد مماس عند نقطة الإنقطاع ) , ثم نحسب مقدار ميل المستقيم على محور السينات الموجب , و هذا لإيجاد مماس واحد , و لكن لوضع دالة تحل محل العمليات المتكررة و الحسابات لإيجاد ميل المماس , قام العلماء بإبتكار علم التفاضل أو الإشتقاق , فلو كان لدينا الدالة د( س ) = س^2 , فعند رسمها سنجد مماسات كثيرة يصعب إحصائها يدوياً , و لكن عند إشتقا الدالة د( س ) فإنَّ أي قيمة تعوض في المشتقة سوف تساوي ميل مماس منحنى د( س ) عند تلك النقطة المعوضة , أي د‘( س ) = 2س ( و هي المشتقة ) عندما نعوض فيها 5 , قسينتج لنا ميل مماس د( س ) عند النقطة 5 , د‘( 5 ) = 2 × 5 = 10 , و هو ميل المماس .

الاتصال : اي ان تلك الدالة تكون معرفة عند جميع النقاط ,, وان لم تكن معرفة عند نقطة او اكثر فهي غير متصلة عند تلك النقاط ,, ومعني ان الدالة معرفة اي لها قيمة عددية عند تلك النقطة .. ومعني انها غير معرفة ان قيمتها عند تلك النقطة تساوي ما لا نهاية وهي قيمة غير مقبولة

الاشتقاق: اي ان تلك الدالة قابلة للاشتقاق عند جميع النقاط ,, وان لم تكن قابلة للاشتقاق عند نقطة او اكثر فتكون الدالة غير قابلة للاشتقاق عند تلك النقاط
ومعني انها قابلة للاشتقاق ان مشتقة الدالة عند هذه النقطة لها قيمة عددية
ومعني انها غير قابلة للاشتقاق عند تلك النقطة ان مشتقة الدالة عند هذه النقطة تساوي ما لا نهاية
وهناك ملاحظة صغيرة .. اذا كانت الدالة غير قابلة للاشتقاق عند نقطة فانها تكون غير متصلة عند تلك النقطة ,, ولكن اذا كانت غير متصلة عند تلك النقطة فلا يشترط الا تكون قابلة للتفاضل او لا
يعني الخلاصة : اذا كانت غير قابلة لتفاضل فهي غير متصلة عند تلك النقطة  واذا كانت غير متصلة لا يمكن الجزم اذا كانت قابلة للاشتقاق او لا
تقبل مروري

الاشتقاق هو ميل المماس للمنحنى عند اى نقطة بدلالة س او س ، ص
الاتصال يكون اذا كانت الادلة معرفة على أكثر من قاعدة نبحث اتصالها عند
نقطة معينة نعوض فى القاعدتين او الأكثر للدالة اذا كانت نفس النتجية نقول
ان الدالة متصلة عند هذه النقطة، اما اذا كانت مخالفة نقول ان الدالة غير متصلة عند
هذه النقطة وبالتالى لا يوجد مشتقة عندها .. اذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة
نقول على الدالة انها متصلة والعكس ليس من الضرورى ان يكون صحيح .. حيث هناك دالة
تكون عبارة عن رأس مدبب ومتصلة لكن المشتقة عند هذا الرأس المدبب غير معرفة حيث
يوجد عندها مماسان .. الخ .

مثال : ( انظر الصورة ) نريد ان نبحث اتصال الدالة عندما س = 1 .. لماذا ؟؟
لأن هذه نقطة افتراق الدالة كما هو واضح هى معرفة على أكثر من قاعدة وهناك
نقطة س = 1 تفترق عندها الدالة لتصبح دالتين مكونة لدالة نريد ان نعرف هل هى
متصلة عندما س = 1 ام انهم يتفرقان .. نعوض تعويض عادى جدا ً
       
                                  جذر(س + 8 )   -  3
عند التعريف الأول د( 1 ) = ــــــــــــــــــــــــــــــــ  من غير تعويض واضح عند س = 1
                                          س - 1

سكون المقام 1 - 1 = صفر وهذا غير مقبول .

التعريف الآخر  د ( 1 ) = 1/ 6  عندما س = 1

هل هما متساويان ؟؟ بالتاكيد لا اذا ً نقول ان ق ( س  ) غير متصلة عندما س = 1