البرهان عبارة عن إثبات يستند على بديهيات معينة لعبارة رياضية أو علاقة رياضية بأنها صحيحية منطقيا حكما في ظل هذه المجموعة من البدهيات.
البرهان الرياضي إذا عبارة عن حجة argument أو تعليل منطقي، ليس تجريبيا. ضمن هذا التعريف فإن مقولة أو عبارة رياضية يجب أن تبرهن على صحتها في جميع الظروف والحالات قبل أن يتم اعتبارها مبرهنة theorem رياضية.
أما المقولة غير المبرهنة التي تلقى نوعا من الدعم التجريبي فتعرف بالحدسية conjecture. افتراضيا في جميع فروع الرياضيات، تكون البدهيات المفترضة هي بدهيات ZFC أي Zermelo–Fraenkel set theory (و هي نظرية مجموعات زيرميلو-فرينكل مع بدهيات الاختيار) ما لم يشار إلى بدهيات مختلفة. نظرية مجموعة زيرميلو-فرينكل تقوم بمشاكلة formalize (أي تجعله شكليا formal) الحدس الرياضي حول نظرية المجموعات، وفي نفس الوقت تقوم نظرية المجموعات بوصف الجبر والتحليل الرياضي.
للبرهان الرياضي عدة طرق : البرهان المباشر، العكسي، البرهان بالتناقض، البرهان بالاختيار، البرهان بالاستقراء... الخ
مثلا البرهان المباشر
وتعتمد هذه الطريقة على الاقتناع بأن علاقة الاقتضاء متعدية
ونعني بذلك أنه إذا كان :
* أ تقتضي ب، ب تقتضي جـ فإن أ تقتضي جـ
مثال:
* أثبت أنه إذا كان س = 3 فإن 2(4 س + 5) – 1 = 33
البرهان
س = 3
تقتضي 4 س = 12
تقتضي 4س + 5 = 17
تقتضي 2 (4س + 5) = 34
تقتضي 2 (4س + 5) – 1 = 33
