الرئيسية > السؤال
السؤال
اسئلة فى جبر المتجهات !!
اهلا اخ ابراهيم ! كيفك ؟

هناك بضعة اسئلة فى جبر المتجهات سابدا اولها

1)
ليكن a , b متجهان " لن اضع علامة المتجه لصعوبتها ! وعندما يكون هناك نقطة فانى ساوضح ان كذا نقطة لذا فالاصل هو كونة متجه "

ما معنى الرمز : a ^ b ??

هل يعنى مستوي الذي يجمع المتجهين ؟ّ
a^b = /a/ */ b/ * sin(x) * n
حيث
/b/ طول المتجه b
/a/ طول المتجه a
x قياس الزاوية بين المتجهين
n وجده متجه فى اتجاه العمودي على المستوي الجامع لـ a , b

2) ما هو المعنى الهندسي لـ كون المتجهان مستقلان او مترابطان ؟!

3) ارجو ان تشرح الطريقة الخاصة بكيفية استنتاج معادلة المستوي فى الصورة العمودية
r.b = d
خصوصا النقطة الخاصة بـ بكون : a.(b/ (/b/)).b
هو مسقط المتجه a فى اتجاه المتجه b
وكيف يكون مسقط متجه فى اتجاه متجه اخر هندسيا ؟؟!!!
لاحظ ان  / مرة استعملت كحاصل قسمة


ياريت يكون كلامى واضح ورموزي واضحة هذة المرة :)))

تحياتى لك :)
الرياضيات | الفيزياء 10‏/6‏/2012 تم النشر بواسطة Maths Lover.
الإجابات
1 من 11
a ^ b تعنى الضرب الإتجاهى لهما
a ^ b = ||a||*||b||sinx بحيث انه الكمية
التى تعبر عن مساحة متوازى الأضلاع ذو
الضلعين المتجاوريين a و b وله طبعاً معانٍ
أخرى كثيرة يمنكك البحث عنها ... وفى الفيديو
شاهد أساسيات جبر المتجهات ومن ضمنها تجد
شرح صوت وصورة لحاصل الضرب الإتجاهى لمتجهين ..

المعنى لهندسى للإستقلال الخطى (اى ليسوا على خط واحد)

المتجهان (1 ، 2) ، (-3 ، 4) مستقلان خطياً لأنك عندما ترسمهم
معاً تجدهم كلاً منهم منفصل عن الآخر عن نقطة الأصل .. بينما
(1 ، 2) ، (-1 ، -2) مرتبطان خطياً ، وتجدهم يقعان على خط
مستقيم واحد ، ويمكن اثبات الإرتباط الخطى او الإستقلال الخطى
جبرياً بعدة طرق يمكنك البحث عنها .... منها طريقة التركيب الخطى
او طريقة المحددات ..
10‏/6‏/2012 تم النشر بواسطة ابراهيم عنب. (Ibrahim Hassan).
2 من 11
10‏/6‏/2012 تم النشر بواسطة ابراهيم عنب. (Ibrahim Hassan).
3 من 11
المعنى الهندسى لحاصل الضرب القياسى هو حاصل
ضرب طول المتجه ب × طول مسقط المتجه أ على ب
والرابط الذى وضعته لك يوضح ذلك .. اما بالنسبة للإستقلال
الخطى فى مستوى ثلاثى الأبعاد (لا ليس تماماً كما قلت)
فإذا وجد متجهين او ثلاثة متجهات مستقلة خطياً فى فضاء
ثلاثى الأبعاد فهذا يعنى ان كلاً منهم يستقل بخط او بشعاع
ينتمى اليه، فإذا اضفنا متجه رابع (كمثال) وكان فى نفس خط
او استقامة احدى المتجهات السابقة نقول انهم ليسوا مستقلين
خطياً (على الرغم من وجود ثلاثة متجهات مستقلة خطياً)
كنت اريد ان اوضحلك ذلك بالرسم لكنى على اليقين ان ستفهمنى :)
11‏/6‏/2012 تم النشر بواسطة ابراهيم عنب. (Ibrahim Hassan).
4 من 11
.
14‏/6‏/2012 تم النشر بواسطة ابراهيم عنب. (Ibrahim Hassan).
5 من 11
معذرة أخ فوزى : اكتشفت خطأ فى اجابتى الأخيرة، والتعليق كما هو مكتوب
فى المراجع على الصورة، ثلاث متجهات مستقلة خطياً، فالمتجه الرابع (بخط رفيع)
ما هو عدد قياسى مضروب فى المتجه (الذى ينتمى اليه) وهذا يشبه كثيراً
عندما نضرب طرفى معادلة ما فى عدد قياسى هل حصلت على معادلة جديدة ؟
فى الحقيقة هى نفسها المعادلة، والذى حدث هو انك وضعتها فى صورة أخرى
فقط .. مثال أكثر وضوحاً عندما نقول : س+ص = 6  ما رأيك هل عندما نضرب طرفى
المعادلة فى 5 نحصل على معادلة مختلفة نحلها مع المعادلة الأولى ؟ ام انها فى الأساس
تعطى معادلة مرتبطة خطياً مع المعادلة الأولى ؟

لذلك لا تشغل بالك كثيراً بالمعنى الهندسى فالمعنى الجبرى اشمل، فما قلته
صحيح فى حالة كان عدد المتجهات هو نفس عدد الفضاء، فمثلاً فى الفضاء
ثنائى البعد (يكون المعنى الهندسى الذى وضعته لك صحيح فى حالة كانت
التجربة على متهجين) لاحظ قلت متجهين = رتبة الفضاء الذى يتمنى اليه
المتجهين .. وفى الفضاء الثلاثى يكون ما ذكرته لك من معنى هندسى صحيح
فى حالة كان التعيين على ثلاث متجهات .. وهكذا


مثال : اثبت أن : (0 ، 1) ، (1 ، 2) مستقلين خطياً ..

الخطوات نفرض أعداد قياسية أ ، ب بحيث

أ(0 ، 1) + ب(1 ، 2) = (0 ، 0)  

((اضرب واجمع الإحداثيات السينية وساويها بالصفر، وبنفس الطريقة مع الإحداثيات الصادية))

0 + ب = 0             (1)

أ + 2ب = 0             (2)

من معادلة (1) ينتج أن ب = 0  بالتعويض فى (2)

أ = 0  بما أنها اعطت الحل التافه (0 ، 0) اذاً (0 ، 1) ، (1 ، 2) مستقلين خطياً

وهذا ايضاً يظهر جلياً وواضحاً من خالال الرسم (ارسمهم تجدهم ليسوا على خط ارتباط واحد)

طريقة الثانية : (عن طريق المحددات)

0       1
           = (0×2) - (1×1) = -1
1       2

بما ان محدد المصفوفة لا يساوى 0 اذاً المتجهين مستقلين خطياً ..

والآن  (هذه اهم خطوة وهى التى سألت عنها)  ماذا لو اضفنا متجه ثالث الى
المتجهين السابقين (ليس على نفس خط احدهم) ؟  ليكن المتجه الثالث هو
(2 ، 5)

اثبت أن : (0 ، 1) ،  (1 ، 2)  ، (2 ، 5) مرتبطين خطياً  ..

بنفس الطريقة (لكن بما انهم ثلاث متجهات) نفرض ثلاث أعداد قياسية أ ، ب ، جـ
بحيث :

أ(0 ، 1) + ب(1 ، 2) + جـ(2 ، 5) = (0 ، 0)   ومنها نحصل على معادلتين ..


ب + 2جـ = 0              (1)

أ+2ب+5جـ = 0           (2)

ما رأيك .. اليس هناك حلول لا نهائية لـ أ ، ب ، جـ (من ضمنها الحل الصفرى (التافه)) ؟

مثلاً قم بضرب المعادلة (1) فى -2  واجمعها مع (2)

-2ب - 4جـ = 0        

أ+2ب+5جـ = 0  
.............. بالجمع......................

أ + جـ = 0    (لم تحل المعادلة ولن تحل لوجود ثلاث مجاهيل) اذاً ما عليك الا ان

تضع مثلاً  أ = 1   عوض ..

1 + جـ = 0   ومنها  جـ = -1  هذا معناه ان جـ = -1  عندما أ = 1

بالتعويض فى (1)   عند قيمة جـ

ب + 2(-1) = 0   ومنها ب = 2

اذاً يمكن تكوين تركيب خطى مثل

(0 ، 1) + 2(1 ، 2) - (2 ، 5) = (0 ، 0)

وهذا يعنى ان الثلاث متجهات مرتبطون خطياً .. ماذا تتخسل ان يكون الشكل
الهندسى ؟؟ (فى المراجع)

لذلك لا تشغل بالك بالمعنى الهندسي كثيراً لأنه ينطبق فقط كما قلت لك فى
حالة كان عدد المتجهات = رتبة الفضاء الذى ينتمى اليه .
22‏/6‏/2012 تم النشر بواسطة ابراهيم عنب. (Ibrahim Hassan).
6 من 11
تكلمة للإجابة الأخيرة ابحث خطية المتجهات الآتية ..

(0 ، 1) ، (0 ، 3) ، (1 ، 2)

لاحظ المتجهة (0 ، 3) ما هو 3 مضروب فى المتجه الأول، وفى الرسم
يخيل اليك على انهم متجهين مستقلين خطياً .. نعم هذه حقيقة، لكن
الثلاث متجها معاً (مرتبطون خطياً)

الإثبات : نفرض أعداد قياسية أ ، ب ، جـ بحيث

أ(0 ، 1) + ب(0 ، 3) + جـ(1 ، 2) = (0 ، 0)


اذاً : 0أ+0ب+جـ = 0   اى ان جـ = 0

ايضاً : أ+3ب+2جـ=0     عوض عن جـ = 0

أ+3ب = 0   هذا يعنى ان هناك عدد لا نهائى من الحلول (غير الحل الصفرى)

اذاً : (0 ، 1) ، (0 ، 3) ، (1 ، 2)  ثلاث متجهات مرتبطون خطياً ..

وهذا لأنه يمنكك تكوين احدهما من خلال تركيب خطى للإثنين الأخرين ..

((وهذا هو التعريف العام ولا تشغل بالك كثيراً بالشكل الهندسى))

نقول على مجموعة متجهات انهم مرتبطين خطياً اذا وفقط اذا استطعنا
ان نكتب احدهما كتركيب خطى للباقين .. عدا ذلك فالمتجهات مستقلة خطياً ..

فمثلاً يمكنك كتابة المتجه (0 ، 3) كتركيب خطى من (0 ، 1) ، (1 ، 2)

نفرض أن :  أ(0 ، 1) + ب(1 ، 2) = (0 ، 3)

اذاً : 0أ+ب = 0   ومنها  ب = 0

المعادلة الثانية هى : أ+2ب = 3  ولكن ب = 0  

أ = 3

اى اننا استطعنا ان نكتب المتجه : (0 ، 3)  كتركيب خطى من المتجهين الآخرين

(0 ، 3) = 3(0 ، 1) + 0(1 ، 2)
22‏/6‏/2012 تم النشر بواسطة ابراهيم عنب. (Ibrahim Hassan).
7 من 11
تكملة عزيزى ايضاً حتى اثبت الفكرة لديك ليكن المجهين (0 ، 1) ، (1 ، 2)
مستقلين خطياً .. لماذا ؟ لأنك مهما حاولت ان تكتب احدهما بدلالة الأخر
فلن تستطيع .. جرب مثلاً ان تكتب (1 ، 2) بدلالة (0 ، 1)
نفرض عدد قياسى أ بحيث ..

أ(0 ، 1) = (1 ، 2)  ومنها  (0 ، أ) = (1 ، 2)

هل تستطيع ان تقول 1 = 0  ؟؟  اذاً لن تستطيع

وهذا يؤكد لنا ان المتجهان مستقلان خطياً ..
22‏/6‏/2012 تم النشر بواسطة ابراهيم عنب. (Ibrahim Hassan).
8 من 11
نتيجة : اذا كان لديك متجهات مستقلة عددها ن فى فضاء رتبته ن
ووجد متجه آخر (على الأقل) فى مسار أحدهما كانت هذه المتجهات
جميعها (اى مع المتجه الذى فى مسار احدهما) مرتبطة خطياً .
22‏/6‏/2012 تم النشر بواسطة ابراهيم عنب. (Ibrahim Hassan).
9 من 11
ولكن ربما تسأل ماذا لو كان عدد المتجهات اقل من رتبة الفضاء ؟

مثال : ابحث اسقلالية المتجهات الآتية (0 ، 0 ، 1) ، (0 ، 2 ، -2)

الحل : نفرض أعداد قياسية أ ، ب بحيث

أ(0 ، 0 ، 1) + ب(0 ، 2 ، -2) = (0 ، 0 ، 0)

ومنا : (0 ، 0 ، أ) + (ب ، 2ب ، -2ب) = (0 ، 0 ، 0)

اى ان : (ب ، 2ب ، أ - 2ب) = (0 ، 0 ، 0)

اذاً : ب = 0   ،  أ - 2ب = 0   ومنها أ = 0

اى اننا حصلنا على الحل التافه أ = 0 ، ب = 0

اذاً :  (0 ، 0 ، 1) ، (0 ، 2 ، -2) مستقلين خطياً ..

وهذا لأنك لن تستطيع ان تكتب احدهما بدلالة الآخر .. (هذه النقطة مهمة)

نفرض أن : (0 ، 0 ، 1) = أ(0 ، 2 ، -2)

(0 ، 0 ، 1) = (0 ، 2أ ، -2أ)

اى ان : 2أ = 0  ومنها أ=0  ولكن اذا ساوينا الإحداثى الثالث نجد أن

-2أ = 1   ومنها أ = -½  وهذا مما لا يدع مجالاً للشك ان كتابة احدهما
بدلالة الآخر مستحيييل .. اذاً المتجهان مستقلان خطياً ..
22‏/6‏/2012 تم النشر بواسطة ابراهيم عنب. (Ibrahim Hassan).
10 من 11
وحتى انهيك من هذا كله : نقول على مجموعة متجهات من فضاء ن
انها مرتبطة خطياً اذا وفقط اذا وجد على الأقل متجه نستطيع ان
نكتبه بدلالة الآخر (كتركيب خطى)، او بدلالة جزء من المتجهات او
بصفة عامة بدلالة المتجهات الأخرى جميعها .
22‏/6‏/2012 تم النشر بواسطة ابراهيم عنب. (Ibrahim Hassan).
11 من 11
وفى حقيقة الأمر ايضاً ما قلته ان المعنى الهندسى ينطبق
فى حالة كان عدد المتجهات = رتبة الفضاء .. تعبير غير دقيق

مثال يوضح ذلك : ابحث استقلالية (0 ، 0 ، 1) ، (0 ، 2 ، -2) ، (0 ، 2 ، -1)
فعلى الرغم من انهم (يظهروا لك فى فضاء ثلاث الأبعاد) انهم مستقلين خطياً
الا ان هذا غير صحيح (لأنى كما قلت لك لا تشغل نفسك كثيراً بالمعنى الهندسى
وركز على التعريف العام ..)

الثلاث متجهات مرتبطون خطياً لأن المتجه (0 ، 2 ، -1) ما هو
الا تركيب خطى من المتجهين السابقين له ..

(0 ، 0 ، 1) + (0 ، 2 ، -2) = (0 ، 2 ، -1)
22‏/6‏/2012 تم النشر بواسطة ابراهيم عنب. (Ibrahim Hassan).
قد يهمك أيضًا
لمحبى اللغة الانجليزية:
الشاطر يحلها..........
البرهنة على 1+1=2
MATH>>>>...
تسجيل الدخول
عرض إجابات Google في:: Mobile | كلاسيكي
©2014 Google - سياسة الخصوصية - مساعدة