الرئيسية > السؤال
السؤال
إيجاد وحدة ثابت الجذب العام باستعمال التحليل البعدي
فيما يخض الدراسة
إنجلترا | الإسكندرية 3‏/3‏/2010 تم النشر بواسطة الأوتوران.
الإجابات
1 من 15
المحاضرة (2)
علم المتجهات
الكميات القياسية والكميات المتجهة Vector and Scalar
جميع الكميات الفيزيائية (أساسية أو مشتقة) يمكن تقسيمها إلى نوعين، النوع الأول الكميات القياسية scalar والنوع الثاني الكمية المتجهة vector . الكمية القياسية يمكن تحديدها بالمقدار magnitude فقط، مثل أن تقول أن كتلة جسم 5kg مساحة قطعة مستطيلة 30m2 نكون قد حددنا الكمية الفيزيائية. أما الكمية المتجهة تحتاج إلى أن تحدد اتجاهها direction بالإضافة إلى مقدارها، مثل سرعة الرياح 10km/h واتجاهها غرباً لاحظ هنا أنه احتجنا لتحديد المقدار أولاً ثم الاتجاه ثانياً.
في الجدول التالي قائمة ببعض الكميات القياسية والكميات المتجهة.

Scalar Quantity Vector Quantity
Length الطول Displacement الازاحة
Mass الكتلة Force القوة
Speed السرعة Acceleration العجلة

يجب أن يكون معلوما لدينا أن التعامل مع الكميات القياسية يختلف عنه في الكميات المتجهة فمثلاً لإيجاد المحصلة للكميات القياسية يتم التعامل جبرياً فمثلاً شخص يمتلك 15 قطعة نقدية واكتسب 5 قطع اخرى ثم خسر 3 قطع منها فتكون محصلة ما معه 17 قطعة، أما في الكميات المتجهة يكون التعامل اتجاهياً فمثلا إذا كان هناك جسم اثرت عليه ثلاثة قوى فالمحصلة تعتمد على اتجاه كل قوة وقد نحتاج إلى عمل تحليل للمتجهات لإيجاد المركبات الرئيسية والمركبات الأفقية ثم نحسب المحصلة ونحدد اتجاهها، لذا فإن التعامل مع الكميات المتجهة في الأغلب يكون أصعب قليلاً منها في التعامل مع الكميات القياسية.
لذلك سوف نقوم بشرح مبسط لعلم المتجهات وتوضيح مفاهيمه واساسياته.

نظام الإحداثيات Coordinate system
نحتاج في حياتنا العملية إلى تحديد موقع جسم ما في الفراغ سواءً كان ساكناً أم متحركاً، ولتحديد موقع هذا الجسم فإننا نستعين بما يعرف بالإحداثيات Coordinates، وهناك نوعان من الإحداثيات التي سوف نستخدمها وهما Rectangular coordinates و polar coordinates.
الاحداثيات الكارتيزية The rectangular coordinates
الإحداثيات الكارتيزية في بعدين موضحة في الشكل التالي. وتتكون الاحداثيات هذه من محورين x و y متعامدين ومتقاطعين عند النقطة (0,0) والتي تسمى نقطة الأصل origin point يتم وضع اسم كل محور ليدل على الكمية الفيزيائية التي يحددها والوحدة المستخدمة للقياس. تحدد اية نقطة على هذه الاحداثيات بـ (x,y).

الإحداثيات القطبية The polar coordinates
في بعض الأحيان يكون من الأنسب استخدام نظام محاور آخر مثل نظام المحاور القطبية والذي يحدد بالمسافة r والزاوية θ التي يصنعا مع المحور الأفقي. وتتحدد أي نقطة على هذه الإحداثيات بـ (r,θ)


العلاقة بين الاحداثيات الكارتيزية والقطبية The relation between coordinates
العلاقة بين الاحداثيات الكارتيزية (x,y) والاحداثيات القطبية (r,q) موضحة في الشكل التالي:

x = r cos q (1.1)
And
y = r sin q (1.2)
بتربيع المعادليتن (1.1) و (1.2) وجمعهما نحصل على
(1.3)

بتقسيم المعادلتين (1.1) و (1.2) نحصل على
tan θ= x/y (1.4)
________________________________________
خواص المتجهات Properties of Vectors
جمع المتجهات Vector addition
يمكن جمع المتجهات التي تعبر عن كميات فيزيائية متشابهة مثل جمع متجهيين للقوة ولكن لا يمكن ان نجمع متجه قوة مع متجة سرعة. فمثلاُ لجمع متجه A مع متجه B تكون المحصلة المتجه R

R= A + B (1.5)

لاحظ ان جمع المتجهات لها خاصية التبديل فمثلا

A + B = B + A (1.6)

متجه الوحدة The unit vector
يعرف متجه الوحدة بمتجه طوله الوحدة ويستخدم للتعبير عن الاتجاه لإي كمية فيزيائية متجهة.

المتجه A يمكن تمثيله بمقدار المتجه A ضرب متجه الوحدةa كالتالي

A = a A (1.10)

كذلك يمكن تمثيل متجهات وحدة (i, j, k) لمحاور الاحداثيات الكارتيزية rectangular coordinate system x, y, z كما في الشكل التالي:-

لاحظ ان الشكل السابق يعبر عن الاحداثيات الكارتيزية في ثلاثة ابعاد
________________________________________

________________________________________
ضرب المتجهات Product of a vector
يوجد نوعين من الضرب للمتجهات النوع الأول يسمى الضرب القياسي لان حاصل ضرب متجهين يعطي كمية قياسية مثل حاصل ضرب متجه القوة في متجهة الإزاحة يكون الناتج الشغل وهو كمية قياسية، والنوع الثاني هو الضرب الاتجاهي وذلك لان حاصل ضرب متجهين ينتج عنه متجه ثالث يكون اتجاهه عمودي على المستوى الذي يحوي المتجهين الآخرين مثل متجه سرعة جسم مشحون في متجه المجال المغناطيسي ينتج عنه متجه قوة مغناطيسية.
ينتج من الضرب القياسي كمية قياسية وينتج من الضرب الإتجاهي كمية متجهة

الضرب القياسي The scalar product
يعرف الضرب القياسي scalar product بالضرب النقطي dot product وتكون نتيجة الضرب القياسي لمتجهين كمية قياسية، وتكون هذه القيمة موجبة إذا كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين بين 0 و 90 درجة وتكون النتيجة سالبة إذا كانت الزاوية المحصورة بين المتجهين بين 90 و 180 درجة وتساوي صفراً إذا كانت الزاوية 90.
يعرف الضرب القياسي لمتجهين بحاصل ضرب مقدار المتجه الأول في مقدار المتجه الثاني في جيب تمام الزاوية المحصورة بينهما.

(1.16)
يمكن إيجاد قيمة الضرب القياسي لمتجهين باستخدام مركبات كل متجه كما يلي:

الضرب القياسي

________________________________________

________________________________________
الضرب الاتجاهي The vector product
يعرف الضرب الاتجاهي vector product بـ cross product وتكون نتيجة الضرب الاتجاهي لمتجهين كمية متجهة. كما في الشكل التالي:


لايجاد قيمة حاصل الضرب نستعين بالحقيقة المتمثلة في أن الزاوية بين المتجهات i, j , k هي 90o

________________________________________


________________________________________ المحاضرة (3)
علم الميكانيكا

علم الميكانيكا من العلوم الواسعة التي تهتم بحركة الأجسام ومسبباتها، ويتفرع من هذا العلم فروع أخرى مثل الكينماتيكا Kinematics و الديناميكا Dynamics. وعلم الكينماتيكا يهتم بوصف حركة الأجسام دون النظر إلى مسبباتها، أما علم الديناميكا Dynamics فهو يدرس حركة الأجسام ومسبباتها مثل القوة والكتلة. وفي هذا الفصل سنقوم بدراسة حركة الأجسام وعلاقتها بكل من الإحداثيات المكانية والزمنية. ثم سندرس الفرع الثاني وهو علم الديناميكا.




The position vector and the displacement vector
من أساسيات دراسة علم وصف الحركة الكينماتيكا Kinematics للأجسام المادية هو دراسة كل من الإزاحةDisplacement والسرعة Velocity والعجلة Acceleration. ونحتاج هنا إلى اعتماد محاور إسناد لتحديد موضع الجسم المتحرك عند أزمنة مختلفة ومن المناسب اعتماد محاور الإسناد الكارتيزية أو ما سميت بـ rectangular coordinate (x,y,z)، فمثلاً نحتاج إلى تحديد موقع جسم ما إلى إسناده إلى مرجعية محددة فمثلاً يمكن اعتبار متجه الموضع Position vector هو المتجه الواصل من مركز إسناد معين إلى مكان الجسم الذي يراد تحديده. كما في الشكل 2.1 حيث تم اعتبار مركز الإسناد في بعدين فقط هو مركز المحاور x, y


في الشكل 2.1 متجه الموضع r1 يحدد موضع الجسم عند بداية الحركة ومتجه الموضع r2 يحدد موقع الجسم النهائي بعد زمن وقدره t=t2-t1 وهنا فإن الإزاحة للجسم تعطى بالمعادلة (2.3)

r1 = x1i + y2j
r2 = x2i + y2j
r = r2 - r1

r is called the displacement vector which represent the change in the position vector.


لاحظ أن الإزاحة displacement r تعتمد على المسافة بين نقطتي البداية والنهاية فقط ولا تعتمد على المسار الذي يسلكه الجسم.

________________________________________
Example
Write the position vector for a particle in the rectangular coordinate (x, y, z) for the points (5, -6, 0), (5, -4), and (-1, 3, 6).

Solution
For the point (5, -6, 0) the position vector is r = 5i - 6j
For the point (5, -4) the position vector is r = 5i -4j
For the point (-1, 3, 6) the position vector is r = -i + 3j +6k
________________________________________

The average velocity and Instantaneous velocity
عند انتقال الجسم من موضع البداية عند الزمن t1 إلى موضع النهاية t2 فإن حاصل قسمة الإزاحة على فرق الزمن t =t2-t1 يعرف بالسرعة Velocity وحيث أن الجسم يقطع المسافة بسرعات مختلفة فإن السرعة المحسوبة تسمى بمتوسط السرعة Average velocity. ويمكن تعريف السرعة عند أية لحظة بالسرعة اللحظية Instantaneous velocity.

The average velocity of a particle is defined as the ratio of the displacement to the time interval.


The instantaneous velocity of a particle is defined as the limit of the average velocity as the time interval approaches zero.

The unit of the velocity is (m/s)
________________________________________

The average acceleration and Instantaneous acceleration
عند انتقال الجسم من موضع البداية عند الزمن t1 إلى موضع النهاية t2 بسرعة ابتدائية v1 وعند النهاية كانت السرعة v2 فإن معدل تغير السرعة بالنسبة إلى الزمن يعرف باسم التسارع Acceleration أو متوسط التسارع Average Acceleration، ويكون التسارع اللحظي Instantaneous acceleration هو السرعة اللحظية على الزمن.
The average acceleration of a particle is defined as the ratio of the change in the instantaneous velocity to the time interval.

The instantaneous acceleration is defined as the limiting value of the ratio of the average velocity to the time interval as the time approaches zero.

The unit of the acceleration is (m/s2)
________________________________________‏
3‏/3‏/2010 تم النشر بواسطة بدون اسم.
2 من 15
المحاضرة (4)



One-dimensional motion with constant acceleration

سندرس الآن الحركة في بعد واحد وذلك فقط عندما تكون العجلة ثابتة constant acceleration. وفى هذه الحالة تكون العجلة اللحظية Instantaneous acceleration تساوى متوسط العجلة Average acceleration. ونتيجة لذلك فإن السرعة إما أن تتزايد أو تتناقص بمعدلات متساوية خلال الحركة.
ويعبر عن ذلك رياضياً على النحو التالي:-
Instantaneous acceleration = Average acceleration


Let to = 0 then the acceleration

or
v = vo + at
إذا كانت العجلة تساوي صفراً فإن السرعة لا تعتمد على الزمن، وهذا يعني أن السرعة النهائية تساوي السرعة الابتدائية. لاحظ أيضاً أن كل حد من حدود المعادلة السابقة له بعد سرعة

يوضح الشكل أعلاه تأثير عجلة ثابتة مقدارها -5m/s2 في تقليل السرعة بمقدار 5m/s كل ثانية.
Since the velocity varies linearly (خطي) with time we can express the average velocity as


To find the displacement x (x-xo) as a function of time

or

Also we can obtain the following equations


من المعادلة السابقة نلاحظ أن المسافة المقطوعة (x-xo) تساوي المسافة المقطوعة نتيجة السرعة الابتدائية وهو الحد vot بالإضافة إلى المسافة نتيجة للعجلة الثابتة، وهذا يظهر في الحد الأخير من المعادلة 1/2at2، وإن كل حد من حدود المعادلة له بعد مسافة (m).
لاحظ أيضاً أنه إذا كانت العجلة تساوي صفراً فإن المسافة المقطوعة تساوي السرعة في الزمن.
x - xo = vot
إذا كانت السرعة الابتدائية تساوي صفراً تكون المسافة المقطوعة تساوي
x - xo = 1/2 a t 2
Application of one-dimensional motion with constant acceleration (Free Fall)

من التطبيقات الهامة على العجلة الثابتة constant acceleration السقوط الحر Free fall تحت تأثير عجلة الجاذبية الأرضية g حيث أن عجلة الجاذبية الأرضية ثابتة نسبياً على ارتفاعات محدودة من سطح الأرض واتجاهها دائما في اتجاه مركز الأرض، وبالتالي يمكن استخدام المعادلات الأربع السابقة مع تغيير الرمز x بالرمز y وكذلك التعويض عن العجلة a بعجلة الجاذبية الأرضية بإشارة سالبة -g وذلك لأن عجلة الجاذبة الأرضية دائماً في اتجاه مركز الأرض وهذا يعبر عنه من خلال المحور y السالب كما في الشكل

v = vo - g t
y = yo + 1/2 (v+vo)t
y = yo + vo t - 1/2 g t2
v2 = vo2 - 2g (y-yo)

Example
A stone is dropped from rest from the top of a building, as shown in Figure 2.4. After 3s of free fall, what is the displacement y of the stone?

Solution
From equation
y = yo + vo t - 1/2 g t2
y = 0 + 0 - (9.8) × (3)2 = -44.1m
________________________________________

Example
A stone is thrown upwards from the edge of a cliff 18m high as shown in Figure 2.5. It just misses the cliff on the way down and hits the ground below with a speed of 18.8m/s.
(a) With what velocity was it released?
(b) What is its maximum distance from the ground during its flight?

Solution
Let yo = 0 at the top of the cliff.
(a) From equation
v2 = vo2 - 2g (y-yo)
(18.8) 2 = vo2 - 29.818
vo2 = 0.8 m/s
(b) The maximum height reached by the stone is h

________________________________________

Example
A student throws a set of keys vertically upward to another student in a window 4m above as shown in Figure 2.6. The keys are caught 1.5s later by the student.
(a) With what initial velocity were the keys thrown?
(b) What was the velocity of the keys just before they were caught?

Solution
(a) Let yo=0 and y=4m at t=1.5s then we find
y = yo + vo t - 1/2 g t2
4 = 0 + 1.5 vo - 4.9 (1.5)2
vo = 10 m/s

(b) The velocity at any time t > 0 is given by
v = vo + at
v= 10 - 9.8 (1.5) = -4.68 m/s
________________________________________
هاية المحاضرة الثالثة
3‏/3‏/2010 تم النشر بواسطة بدون اسم.
3 من 15
المحاضرة (5)



Motion in two dimensions
Motion in two dimensions like the motion of projectiles and satellites and the motion of charged particles in electric fields. Here we shall treat the motion in plane with constant acceleration and uniform circular motion.

درسنا في الفصل السابق الحركة في بعد واحد أي عندما يتحرك الجسم في خط مستقيم على محور x أو أن يسقط الجسم سقوطاً حراً في محور y، سندرس الآن حركة جسم في بعدين أي في كل من x,y مثل حركة المقذوفات حيث يكون للإزاحة والسرعة مركبتان في اتجاه المحور x والمحور y.

Motion in two dimension with constant acceleration
Assume that the magnitude and direction of the acceleration remain unchanged during the motion.
The position vector for a particle moving in two dimensions (xy plane) can be written as

where x, y, and r change with time as the particle moves
The velocity of the particle is given by

Since the acceleration is constant then we can substitute
vx = vxo + axt vy = vyo + ayt
this give
v = (vxo + axt)i + (vyo + ayt)j
= (vxo i + vyo j) + (ax i + ayj) t
then
v = vo + a t (***)
من المعادلة (***) نستنتج أن سرعة جسم عند زمن محدد t يساوى الجمع الاتجاهى للسرعة الابتدائية والسرعة الناتجة من العجلة المنتظمة.
Since our particle moves in two dimension x and y with constant acceleration then

x = xo + vxo t + 1/2 ax t 2 & y = yo + vyo t - 1/2 ay t 2
but
r = xi + yj

r = (xo + vxo t + 1/2 a t 2)i + (yo + vyo t - 1/2 g t 2)j
= (xo i + yo j) + (vxoi+ vyoj)t +1/2 (axi+ ayj)t 2
r = ro + vot + 1/2 a t 2 (###)
من المعادلة (###) نستنتج أن متجه الإزاحة r-ro هو عبارة عن الجمع الإتجاهى لمتجه الإزاحة الناتج عن السرعة الابتدائية vot والإزاحة الناتجة عن العجلة المنتظمة .1/2 a t 2.
Projectile motion
تعتبر حركة المقذوفات Projectile motion من الأمثلة على الحركة في بعدين، وسوف نقوم بإيجاد معادلات الحركة للمقذوفات لتحديد الإزاحة الأفقية والرأسية والسرعة والعجلة من خلال العديد من الأمثلة.

Example
A good example of the motion in two dimension it the motion of projectile. To analyze this motion lets assume that at time t=0 the projectile start at the point xo=yo=0 with initial velocity vo which makes an angle o, as shown in Figure 2.5.


then
vx = vxo = vocoso = constant
vy = vyo - gt = vosin o - gt
x = vxo t = (vocoso)t
y = vyo t - 1/ g t2 = (vosin o)t - 1/2 g t2

Horizontal range and maximum height of a projectile
It is very important to work out the range (R) and the maximum height (h) of the projectile motion.



To find the maximum height h we use the fact that at the maximum height the vertical velocity vy=0
by substituting in equation

vy = vosin o - gt

To find the maximum height h we use the equation
y = (vosin o)t - 1/2 g t 2
by substituting for the time t1 in the above equation

من المعادلة (الأخيرة)نلاحظ أقصى ارتفاع يصل إليه الجسم المتحرك في بعدين كحركة المقذوفات على عجلة الجاذبية، وعليه فإن المقذوفات على سطح القمر تأخذ مساراً ذا مدى وارتفاع أكبر منه على سطح الأرض كما في الشكل أدناه.


________________________________________
Example

Suppose that in the example above the object had been thrown upward at an angle of 37o to the horizontal with a velocity of 10m/s. Where would it land?


Solution
Consider the vertical motion
voy = 6 m/s
ay = -9.8m/s2
y = 20m
To find the time of flight we can use
y = vyo t - 1/2 g t 2
since we take the top of the building is the origin the we substitute for
y = -20m
-20 = 6 t - 1/2 9.8 t 2
t = 2.73s

Consider the horizontal motion
vx = vxo = 8m/s
then the value of x is given by
x = vx t = 22m
________________________________________
Example
In the Figure shown below where will the ball hit the wall

Solution
vx = vxo = 16m/s
x = 32m
Then the time of flight is given by
x =vt
t =2s
To find the vertical height after 2s we use the relation
y = vyo t - 1/2 g t 2
Where vyo = 12m/s, t =2s
y = 4.4m
Since y is positive value, therefore the ball hit the wall at 4.4m from the ground
To determine whether the ball is going up of down we estimate the velocity and from its direction we can know
vy = vyo - gt
vy = -7.6m/s
Since the final velocity is negative then the ball must be going down.
________________________________________
نهاية المحاضرة الخ
________________________________________
3‏/3‏/2010 تم النشر بواسطة بدون اسم.
4 من 15
المحاضرة (6)




Motion in Uniform Circular Motion

من الممكن أن يتحرك جسم على مسار دائري بسرعة خطية ثابتة linear constant speedقد يخطر لنا الآن أن العجلة في هذه الحالة تساوى صفراً، وذلك لأن السرعة ثابتة، وهذا غير صحيح لأن الجسم يتحرك على مسار دائري لذا توجد عجلة. ولشرح ذلك نحن نعلم أن السرعة كمية متجه، والعجلة هي عبارة عن كمية متجه لأنها تساوى معدل التغير في السرعة بالنسبة للزمن، والتغير في السرعة قد يكون في المقدار أو في الاتجاه. وفي حالة حركة الجسم على مسار دائري فإن العجلة لا تؤثر على مقدار السرعة إنما تغير من اتجاه السرعة، ولهذا فإن الجسم يتحرك على مسار دائري وبسرعة ثابتة. يكون متجه السرعة دائما عمودياً على نصف القطر وفى اتجاه المماس عند أية نقطة على المسار الدائري كما في الشكل


t نقسم كلا الجوانب علي

________________________________________
في نصف قطر والسرعة ثابتة . واذا كون الجسيم 5 هيجان في كل ثانية من حركتها.m دائري جسيم تحرك في4 طريق دائري 0.4A
b وعجلة الجسيم a اوجد سرعة الجسيم


الحل
(a) Since r=0.4m, the particle travels a distance 0f 2r = 2.51m in each revolution. Therefore, it travels a distance of 12.57m in each second (since it makes 5 rev. in the second).
v= 12.57m/1sec = 12.6 m/s

________________________________________
Example
A train slows down as it rounds a sharp horizontal turn, slowing from 90km/h to 50km/h in the 15s that it takes to round the bend. The radius of the curve is 150m. Compute the acceleration at the train.


Solution
يجب تحويل السرعة من وحدة km/h إلى وحدة m/s كالتالي:-

v =13.89m/s عندما

________________________________________
3‏/3‏/2010 تم النشر بواسطة بدون اسم.
5 من 15
المحاضرة (7)
قوانين الحركة

The law of motion
في الجزء السابق ركزنا على علم وصف الحركة من إزاحة وسرعة وعجلة دون النظر إلى مسبباتها وهذا العلم يسمى علم الكينماتيكا Kinematics، وفى هذا الجزء من المقرر سوف ندرس مسبب الحركة وهو كمية فيزيائية هامة تدعى القوة Force والتي وضع العالم نيوتن ثلاث قوانين أساسية تعتمد على الملاحظات التجريبية التي أجراها منذ أكثر من ثلاث قرون. والعلم الذي يدرس العلاقة بين حركة الجسم والقوة المؤثرة عليه هو من علوم الميكانيكا الكلاسيكية Classical mechanics والتي تعرف باسم ديناميكا Dynamics، وكلمة كلاسيك هنا تدل على أننا نتعامل فقط مع سرعات اقل بكثير من سرعة الضوء وأجسام أكبر بكثير من الذرة.
The concept of force
نتعامل في حياتنا اليومية مع العديد من أنواع القوى المختلفة التي قد تؤثر على الأجسام المتحركة فتغير من سرعتها مثل شخص يدفع عربة أو يسحبها أو أن تؤثر القوة على الأجسام الساكنة لتبقيها ساكنة مثل الكتاب على الطاولة أو الصور المعلقة على الحائط. ويكون تأثير القوة مباشر Contact force مثل سحب زنبرك أو دفع صندوق ويمكن أن يكون تأثير القوة عن بعد Action-at-a-distance مثل تنافر أو تجاذب قطبي مغناطيس.

It is not always force needed to move object from one place to another but force are also exist when object do not move, for example when you read a book you exert force holding the book against the force of gravitation.
يعرف الجسم الساكن بأنه في حالة اتزان equilibrium عندما تكون محصلة القوى المؤثرة عليه تساوي صفراً.
It is very important to know that when a body is at rest or when moving at constant speed we say that the net force on the body is zero i.e. the body in equilibrium.
يوجد العديد من أنواع القوة الموجودة في الطبيعة وهي أما أن تكون ميكانيكية أو جاذبية أو كهربية أو مغناطيسية أو نووية. وسندرس في هذا المقرر من الكتاب النوع الأول والثاني.

ولدراسة القوى الميكانيكية سنبدأ بدراسة قوانين نيوتن للحركة.

Newton’s laws of motion
Newton's first law, the law of equilibrium states that an object at rest will remain at rest and an object in motion will remain in motion with a constant velocity unless acted on by a net external force.

Newton's second law, the law of acceleration, states that the acceleration of an object is directly proportional to the net force acting on it and inversely proportional to its mass.

Newton's third law, the law of action-reaction, states that when two bodies interact, the force which body "A" exerts on body "B" (the action force ) is equal in magnitude and opposite in direction to the force which body "B" exerts on body "A" (the reaction force). A consequence of the third law is that forces occur in pairs. Remember that the action force and the reaction force act on different objects.



Newton's first and second law
يشرح القانون الأول لنيوتن حالة الأجسام التي تؤثر عليها مجموعة قوى محصلتها تساوي صفراً، حيث يبقى الجسم الساكن ساكناً والجسم المتحرك يبقى متحركاً بسرعة ثابتة. أما قانون نيوتن الثاني فيختص بالأجسام التي تؤثر عليها قوة خارجية تؤدي إلى تحريكها بعجلة a أو أن تغير من سرعتها إذا كانت الأجسام متحركة. وهنا يجدر الإشارة إلى أن القانون الثاني يحتوي القانون الأول بتطبيق أن العجلة تساوي صفراً a = 0.

where m is the mass of the body and a is the acceleration of the body

Then the unit of the force is (Kg.m/s2) which is called Newton (N)

وقد سميت وحدة القوة بنيوتن تكريماً للعالم نيوتن.


في الشكل أعلاه إذا زادت الكتلة بمقدار الضعف مع ثبوت قوة الشد فإن العجلة تقل بمقدار النصف.



في الشكل أعلاه إذا تضاعفت قوة الشد فإن العجلة تزداد بمقدار الضعف.
Example
Two forces, F1 and F2, act on a 5-kg mass. If F1 =20 N and F2 =15 N, find the acceleration in (a) and (b) of the Figure

Solution
(a) F = F1 + F2 = (20i + 15j) N

F = ma 20i + 15j = 5 a

a = (4i + 3j) m/s2 or a = 5m/s2

(b) F2x = 15 cos 60 = 7.5 N
F2y = 15 sin 60 = 13 N
F2 = (7.5i + 13j) N
F = F1 + F2 = (27.5i + 13j) = ma = 5 a
a = (5.5i + 2.6j) m/s2 or a = 6.08m/s2
________________________________________

Newton's third law
يختص القانون الثالث لنيوتن على القوة المتبادلة بين الأجسام حيث أنه إذا أثرت بقوة على جسم ما وليكن كتاب ترفعه بيدك فإن الكتاب بالمقابل يؤثر بنفس مقدار القوة على يدك وفي الاتجاه المعاكس.

والرمز F12 يعني القوة التي يتأثر بها الجسم الأول نتيجة للجسم الثاني.

يتضح من الشكل أعلاه مفهوم قانون نيوتن الثالث للفعل ورد الفعل، حيث يشد الشخص الجدار بواسطة الحبل وبالمقابل فإن الحبل يشد الشخص كرد فعل.


تابع المحاضرة (7)

Weight
نعلم جميعا أن الوزن Weight هو كمية فيزيائية لها وحدة القوة (N) وهى ناتجة من تأثير عجلة الجاذبية الأرضية g على كتلة الجسم m، وبتطبيق قانون نيوتن الثاني على جسم موجود على بعد قريب من سطح الأرض حيث يتأثر بقوة الجاذبية الأرضية ومقدارها كتلة الجسم في عجلة الجاذبية الأرضية، وبالتالي فإن الوزن
W = mg


في الشكل أعلاه يوضح تأثير تغيير العجلة على وزن الشخص في مصعد كهربي حيث يتغير وزن الشخص في حالة صعود أو هبوط المصعد.
(1) عندما يتحرك المصعد بدون عجلة (سرعة ثابتة) فإن وزن الشخص W=700N .
(2) عندما يتحرك المصعد إلى الأعلى فإن وزن الشخص يصبح W=1000N .
(3) عندما يتحرك المصعد إلى الأسفل فإن وزن الشخص يصبح W=400N .
(4) عندما يسقط المصعد سقوطاً حراً فإن الوزن يصبح صفراً (حالة انعدام الوزن).

في الحالة الأولى عندما تكون العجلة تساوي صفراً يكون الوزن المقاس هو الوزن الحقيقي للشخص، بينما الوزن المقاس في الحالات الثلاث الأخرى فيدعى الوزن الظاهري. ولتوضيح التغير في الوزن الظاهري بالنسبة إلى الوزن الحقيقي سنستخدم قانون نيوتن الثاني:

بتحليل القوى المؤثرة على الشخص في المصعد نجد أن هنالك قوتين الأولى هي وزن الشخص W=mg والقوة الأخرى هي قوة رد فعل المصعد على الشخص FN. بتطبيق قانون نيوتن الثاني نجد أن


where a is the acceleration of the elevator and the person.

عندما يتحرك المصعد إلى الأعلى تكون العجلة a موجبة. أما عندما يتحرك المصعد للأسفل فإن a تكون سالبة.


Tension


عند سحب جسم بواسطة حبل فإن القوة المؤثرة على الجسم من خلال الحبل تدعى قوة الشد Tension ويرمز لها بالرمز T ووحدته N. ويظهر في الشكل صور مختلفة من قوة الشد وكيفية تحديدها على الشكل.


Example
Two blocks having masses of 2 kg and 3 kg are in contact on a fixed smooth inclined plane as in Figure.
(a) Treating the two blocks as a composite system, calculate the force F that will accelerate the blocks up the incline with acceleration of 2m/s2,

Solution

We can replace the two blocks by an equivalent 5 kg block as shown in Figure 3.3. Letting the x axis be along the incline, the resultant force on the system (the two blocks) in the x direction gives


Fx = F - W sin (37o) = m ax
F - 5 (0.6) = 5(2)
F = 39.4 N

________________________________________
Example
The parachute on a race car of weight 8820N opens at the end of a quarter-mile run when the car is travelling at 55 m/s. What is the total retarding force required to stop the car in a distance of 1000 m in the event of a brake failure?

Solution
W = 8820 N, g = 9.8 m/s2 , vo = 55 m/s, vf = 0, xf - xo = 1000 m
m = W/g = 900 kg
vf 2 = vo2 + 2a(x - xo),
0 = 552 + 2a(1000), giving a = -1.51 m/s2
F = ma = (900 kg) (-1.51 m/s2) = -1.36  103 N
The minus sign means that the force is a retarding force.
________________________________________
نهاية المحاضرة السابعة
3‏/3‏/2010 تم النشر بواسطة بدون اسم.
6 من 15
المحاضرة (8)
قوة الاحتكاك
Force of friction
لقد أهملنا سابقاً القوة الناتجة عن الاحتكاك وذلك بفرض أن الأجسام تتحرك على أسطح ناعمة smooth surfaces وذلك حتى لا نزيد عدد المعادلات الرياضية المصاحبة لحل مسائل الميكانيكا، ولكن وبعد أن قطعنا شوطاً في التعامل مع متجهات القوة بمختلف أنواعها مثل الوزن W والشد T ورد الفعل N والقوة الخارجية المؤثرة على الحركة F، سندخل نوع آخر من القوة المؤثرة على الحركة وهى قوة الاحتكاك force of friction ويرمز لها بالرمز f واتجاه هذه القوة دائماً عكس اتجاه الحركة وهي ناتجة عن خشونة الأسطح المتحركة.
من التجارب العملية لوحظ أن قوة الاحتكاك للأجسام الساكنة أكبر من قوة الاحتكاك للأجسام المتحركة. وهذا شيء نلاحظه في حياتنا العملية حيث يحتاج الشخص إلى قوة كبيرة في بداية الأمر لتحريك صندوق خشبي على الأرض ولكن بعد أن يتحرك الجسم نلاحظ أن القوة اللازمة أصبحت أقل من ذي قبل وهذا لأن الجسم أصبح متحركاً وبالتالي فإن قوة الاحتكاك تصبح أقل.

لهذا السبب يمكن تقسيم الاحتكاك إلى نوعين هما الاحتكاك السكوني static friction والاحتكاك الحركي kinetic friction.



ولقد وجد عمليا أن قوة الاحتكاك تتناسب طردياً مع قوة رد الفعل لهذا فإن الاحتكاك يمكن أن يكتب كالتالي:
f =  N
حيث  تسمى معامل الاحتكاك، وفى حالة الاحتكاك السكوني تسمى Coefficient of static friction، s أما في حالة الاحتكاك الحركي تسمى Coefficient of kinetic friction, k.
وعند تمثيل العلاقة بين القوة المؤثرة على جسم وقوة الاحتكاك بيانياً ينتج الشكل التالي:

معامل الاحتكاك الحركي يكون دائما أكبر من معامل الاحتكاك السكوني ومعامل الاحتكاك ليس له وحدة.
Evaluation of the force of friction

Case (1) when a body slides on a horizontal surface


Case (2) when a body slides on an inclined surface

________________________________________
Example
Two blocks are connected by a light string over a frictionless pulley as shown in Figure 3.14. The coefficient of sliding friction between m1 and the surface is . Find the acceleration of the two blocks and the tension in the string.
Solution

Consider the motion of m1. Since its motion to the right, then T >f. If T were less than f, the blocks would remain stationary.
Fx (on m1) = T - f = m1a
Fy (on m1) = N - m1g = 0
since f = N = m1g , then
T = m1(a+g)
For m2, the motion is downward, therefore m2g >T. Note that T is uniform through the rope. That is the force which acts on the right is also the force which keeps m2 from free falling. The equation of motion for m2 is:
Fy (on m2) = T - m2g = - m2a  T = m2(g-a)
Solving the above equation
m2(a+g) - m2(g-a) = 0

هو T التوتر

________________________________________
مثال
كتلة 3 كيلوجرام تبدا من استراحة عند قمة منحدر 30 و هبوط مسافة من 2 متر اسفل المنحدر في 1.5 ثانية. اوجد الازاحة للكتلة , معامل طاقة الاحتكاك بين الكتلة و الطائرة , قوة الاحتكاك المتصرفة علي الكتلة , والسرعة للكتلة بعد انحدار 2 متر.
الحل

المعطيات m = 3kg,  = 30o, x = 2m, t = 1.5s
x = 1/2at 2  2 = 1/2a (1.5)2  a = 1.78m/s2
mg sin30 - f = ma  f = m (g sin30 -a) f = 9.37N
N - mg cos30 = 0  N = mg cos30
f = 9.37N
k = f / N = 0.368

v2 = vo2 + 2a (x-xo )
v2 = 0 + 2(1.78)(2) = 7.11
اذا
v = 2.67m/s
________________________________________‏
3‏/3‏/2010 تم النشر بواسطة بدون اسم.
7 من 15
المحاضرة (9)
الشغل والطاقة
WORK AND ENERGY

إن مفهوم الشغل والطاقة مهم جداً في علم الفيزياء، حيث توجد الطاقة في الطبيعة في صور مختلفة مثل الطاقة الميكانيكية Mechanical energy، والطاقة الكهرومغناطيسية Electromagnetic energy، والطاقة الكيميائية Chemical energy، والطاقة الحرارية Thermal energy، والطاقة النووية Nuclear energy. إن الطاقة بصورها المختلفة تتحول من شكل إلى آخر ولكن في النهاية الطاقة الكلية ثابتة. فمثلا الطاقة الكيميائية المختزنة في بطارية تتحول إلى طاقة كهربية لتتحول بدورها إلى طاقة حركية. ودراسة تحولات الطاقة مهم جداً لجميع العلوم.

وفى هذا الجزء من المقرر سوف نركز على Mechanical energy. وذلك لأنه يعتمد على مفاهيم القوة التي وضعها نيوتن في القوانين الثلاثة، ويجدر الذكر هنا أن الشغل والطاقة كميات قياسية وبالتالي فإن التعامل معها سيكون أسهل من استخدام قوانين نيوتن للحركة، وذلك لأننا كنا نتعامل وبشكل مباشر مع القوة وهى كمية متجهة. وحيث أننا لم نجد أية صعوبة في تطبيق قوانين نيوتن وذلك لأن مقدار القوة المؤثرة على حركة الأجسام ثابت، ولكن إذا ما أصبحت القوة متغيرة وبالتالي فإن العجلة ستكون متغيرة وهنا يكون التعامل مع مفهوم الشغل والطاقة اسهل بكثير في مثل هذه الحالات.

ولكن قبل أن نتناول موضوع الطاقة فإننا سوف نوضح مفهوم الشغل الذي هو حلقة الوصل ما بين القوة والطاقة.
والشغل قد يكون ناتجاً من قوة ثابتة constant force أو من قوة متغيرة varying force. وسوف ندرس كلا النوعين في هذا الفصل.
الشغل تم بواسطة قوة تابتة
اعتبر وجود جسم يتحرك إزاحة مقدارها s تحت تأثير قوة F، وهنا سوف نأخذ حالة بسيطة عندما تكون الزاوية بين متجه القوة ومتجه الإزاحة يساوي صفراً وفي الحالة الثانية عندما تكون هناك زاوية بين متجه الإزاحة ومتجه القوة وذلك للتوصل إلى القانون العام للشغل.

قوة منتظمة في اتجاه الحركة


الشغل في هذه الحالة معطي من المعادلة
W = F s
قوة منتظمة تعمل زاوية مع اتجاه الحركة

الشغل تم بواسطة المركب الافقي للقوة
W = F cos s
المعادلة اعلاه يمكن ان تكتب في شكل اتجاهي كضرب نقطي

وحدة الشغل هي التي تسمي الجول
________________________________________
مثال
اوجد الشغل التام بواسطة 45 نيوتن قوة في سحب ناقل الامتعة كالمبين في الشكل السابق عند مدي لمسافة 75 متر/ثانية.
الحل
طبقا لمعادلة الفوق الشغل يتم علي ناقل الامتعة
W = (Fcos ) s = 45 cos 50o × 75 = 2170J
________________________________________
الشغل قد يكون ايجابي او سلبي



الشغل يتم بواسطة قوة مختلفة
ذكرنا سابقا أن استخدام مفهوم الشغل سوف يساعدنا في التعامل مع الحركة عندما تكون القوة غير منتظمة، ولتوضيح ذلك دعنا نفترض أن قوة منتظمة قدرها 10N تؤثر على جسم ليتحرك مسافة من xi=5m إلى xf=25m وبالتالي فإن الإزاحة مقدارها 20m، ولتمثيل ذلك بيانياً نرسم محور القوة ومحور الإزاحة كما في الشكل، وبالتالي تكون القوة هي خط مستقيم يوازي محور x.

أما في حالة كون القوة متغيرة خلال الإزاحة كما هو مبين في الشكل التالي:

في هذه الحالة نأخذ إزاحة صغيرة قدرها x حتى تكون القوة المؤثرة لهذه الإزاحة منتظمة وهنا يكون الشغل المبذول يعطى بالعلاقة التالية:

وإذا قمنا بتقسيم منحنى القوة إلى أجزاء صغيرة وحسبنا الشغل المبذول خلال كل جزء وجمعناهم، فإنه يمكن التعبير عن ذلك بالعلاقة الرياضية التالية:


وعند جعل الإزاحة x أصغر ما يمكن أي أنها تؤول إلى الصفر لكي نحصل على قيم أدق فإن المعادلة السابقة تتحول إلى

وهذه هي الصورة العامة للشغل (لاحظ أن Fx = F cos).

________________________________________
Work done by a spring

الشكل السابق 4.5 يوضح مراحل إزاحة جسم مرتبط بزنبرك كمثال على القوة المتغيرة حيث أن القوة الاسترجاعية للزنبرك تتغير مع تغير الإزاحة. ولحساب الشغل المبذول بواسطة شخص يشد ببطء الزنبرك من xi=-xm إلى xf=0 نعتبر أن القوة الخارجية Fapp تساوي قوة الزنبرك Fs أي أن

Fapp = - (-kx) = kx

الشغل تم بواسطة عميل (عامل ) خارجي

لاحظ أن الشغل المبذول بواسطة قوة خارجية تساوي سالب الشغل المبذول بواسطة قوة شد الزنبرك.
________________________________________
الشغل والطاقة الحركية
تعلمنا في أجزاء سابقة أن الجسم يتسارع إذا أثرت عليه قوة خارجية. فإذا فرضنا هنا أن جسم كتلته m يتعرض إلى قوة منتظمة مقدارها F في اتجاه محور x. وبتطبيق قانون نيوتن الثاني نجد أن
Fx = m a
فإذا كانت الإزاحة الكلية التي تحركها الجسم هي s فإن الشغل المبذول في هذه الحالة يعطى بالمعادلة
W = Fx s = (m a) s
ومن معلومات سابقة عن جسم يتحرك تحت تأثير عجلة ثابتة

وبالتعويض في معادلة الشغل نحصل على

الناتج من نصف كتلة و مربع السرعة يعرف علي انه الطاقة الحركية لجزيئ و تكون وحدته الجول
K = 1/2 mv2
W = Kf - Ki
هذا يعني ان الشغل يغير الطاقة الحركية للجزيئ.
W = K
لاحظ أن طاقة الحركة K دائما موجبة ولكن التغير في طاقة الحركة K يمكن أن يكون سالباً أو موجباً أو صفراً.
________________________________________
Example
A fighter-jet of mass 5×104kg is travelling at a speed of vi=1.1×104m/s as showing in the Figure. The engine exerts a constant force of 4×105N for a displacement of 2.5×106m. Determine the final speed of the jet.

الحل
طبقا لمعادلة الشغل, الشعل يمت علي المحرك هو
W = (Fcos ) s = 4×105 cos 0o × 2.5×106 = 1×1012J
The work is positive, because the force and displacement are in the same direction as shown in the Figure. Since W = Kf - Ki the final kinetic energy of the fighter jet is
Kf = W + Ki
= (1×1012J) + ½ (5×104kg) (1×104m/s)2 = 4.031×1012J
The final kinetic energy is Kf = ½ mvf2, so the final speed is

حيث أن المحرك يبذل شغلاً موجباً لذا كانت السرعة النهائية أكبر من السرعة الابتدائية.
________________________________________
القوة
The power is defined as the time rate of energy transfer. If an external force is applied to an object, and if the work done by this force is W it the time interval t, then the average power is:

The instantaneous power is given by

The unit of the power is J/s which is called watt (W).
________________________________________

Example
A 65-kg athlete runs a distance of 600 m up a mountain inclined at 20o to the horizontal. He performs this feat in 80s. Assuming that air resistance is negligible, (a) how much work does he perform and (b) what is his power output during the run?

Solution
Assuming the athlete runs at constant speed, we have
WA + Wg = 0
where WA is the work done by the athlete and Wg is the work done by gravity. In this case,
Wg = -mgs(sin)
So
WA = -Wg = + mgs(sin)
= (65kg)(9.80m/s2)(600m) sin20o
(b) His power output is given by

________________________________________‏
3‏/3‏/2010 تم النشر بواسطة بدون اسم.
8 من 15
المحاضرة (10)
Potential energy and conservation energy
طاقة الوضع وقانون الحفاظ على الطاقة
درسنا في الفصل السابق مفهوم طاقة الحركة Kinetic energyلجسم متحرك ووجدنا أن طاقة حركة الجسم تتغير عندما يبذل شغل على الجسم. سندرس في هذا الفصل نوعاً آخر من أنواع الطاقة الميكانيكية وهو طاقة الوضع Potential energy. ويمكن لطاقة الوضع أن تتحول إلى طاقة حركة أو إلى بذل شغل. وتجدر الإشارة هنا إلى أن أنواع القوى التي درسناها هي إما قوة عجلة الجاذبية الأرضية (Fg) أوقوة الاحتكاك (f) أوقوة الشد (T) أوالقوة المؤثرة الخارجية (Fapp)، هذه القوى تقسم إلى نوعين، إما قوى محافظة conservative forces أو قوى غير محافظة non-conservative. فإذا كان الشغل الناتج عن قوة ما لا يعتمد على المسار فإن هذه القوة تكون محافظة، أما إذا كان الشغل يعتمد على المسار فإن هذه القوة تكون غير محافظة.

Conservative forces
A force is conservative when the work done by that force acting on a particle moving between two points is independents of the path the particle takes between the points.

The total work done by a conservative force on a particle is zero when the particle moves around any closed path and returns to its initial position.


تعتبر قوة الجاذبية الأرضية مثالاً على القوة المحافظة، فعند نقل جسم من موضع إلى آخر فإن الشغل المبذول يعتمد على القوة mg وعلى الإزاحة بين نقطتي البداية والنهاية، ولا يعتمد الشغل على المسار فإذا كانت نقطة البداية والنهاية لها نفس الارتفاع عن سطح الأرض فإن الشغل يكون صفراً.

كما وأن القوة الاسترجاعية للزنبرك قوة محافظة حيث أن الشغل يعتمد على نقطتي البداية والنهاية فقط ولا يعتمد على المسار، وقد لاحظنا في الفصل السابق أن الشغل المبذول بواسطة الزنبرك يساوي صفراً في حركة الزنبرك دورة كاملة حيث يكون فيها نقطة النهاية هي العودة إلى نقطة البداية.
When the work done by conservative force we found that the work does not depend on the path taken by the particle. Therefore we can define a new physical quantity called the change in potential energy U.
The Change potential energy is defined as

علمنا سابقاً أن الشغل يساوى التغير في طاقة الحركة، ولكن إذا تحرك جسم تحت تأثير قوة محافظة مثل قوة عجلة الجاذبية الأرضية إزاحة محددة فإن الشغل هنا يعتمد على نقطتي البداية والنهاية ولا يعتمد على المسار. وهنا لا نستطيع القول أن الشغل يساوى التغير في طاقة الحركة. فمثلاً إذا حاول شخص رفع كتلة ما من سطح الأرض إلى ارتفاع معين قدره h فإن هذا الشخص سيبذل شغلاً موجباً مساوياً لـ mgh لان القوة التي بذلها في اتجاه الحركة، ولكن من وجهة نظر الجسم فإنه بذل شغلاً سالباً قدره -mgh وذلك لأن قوته (وزنه) في عكس اتجاه الإزاحة، هذا الشغل السالب يدعى طاقة الوضع التي اكتسبها الجسم عند تحريكه من نقطة إلى أخرى تحت تأثير قوة محافظة (قوة عجلة الجاذبية الأرضية).
Conservation of mechanical energy
لنفترض وجود جسم يتحرك في بعد واحد x تحت تأثير قوة محافظة Fx, فإن الشغل المبذول بواسطة القوة يساوي التغير في طاقة حركة الجسم.

W = K = - U
K = - U
K + U = (K+U) = 0

This is the law of conservation of mechanical energy, which can be written as
Ki + Ui = Kf + Uf Law of conservation mechanical energy


Total mechanical energy
لنعرف الطاقة الميكانيكية الكلية بحاصل جمع طاقة الحركة وطاقة الوضع للجسم.

ومن هنا يمكن كتابة قانون الحفاظ على الطاقة الميكانيكية على النحو التالي:
Ei = Ef
Law of conservation mechanical energy
The law of conservation of mechanical energy states that the total mechanical energy of a system remains constant for conservative force only. This means that when the kinetic energy increased the potential energy decrease‏
3‏/3‏/2010 تم النشر بواسطة بدون اسم.
9 من 15
المحاضرة (11)
Non-conservative forces and the work-energy theorem
طاقة الوضع وقانون الحفاظ على الطاقة

في حالة التعامل مع قوة غير محافظة مثل قوة الاحتكاك بالإضافة إلى قوى محافظة، فإننا لا نستطيع أن نستخدم القانون السابق والذي ينص على أن التغير في الطاقة الميكانيكية الكلية يساوى صفراً لأن هناك جزءً من الطاقة يضيع على شكل حرارة بواسطة الشغل المبذول نتيجة لقوة الاحتكاك. لذلك نحتاج إلى قانون أشمل وأعم ليشمل جميع أنواع القوى.
نعلم سابقا أن الشغل يساوى التغير في طاقة الحركة
Wnc + Wc = K
وحيث أن الشغل قد يكون مبذولاً بواسطة قوى محافظة Wc وأحياناً يكون الشغل مبذولاً بواسطة قوى غير محافظة يرمز له بالرمز Wnc.
وحيث أن الشغل بواسطة قوة محافظة Wc يساوى سالب التغير في طاقة الوضع.
Wnc + -U = K  Wnc = K + U

وهذا يعنى أن الشغل المبذول بواسطة قوة غير محافظة يساوى التغير طاقة الحركة بالإضافة إلى التغير في طاقة الوضع.
Wnc = (Kf+Uf) - (Ki + Ui)
Wnc = Ef - Ei
وهذا يمثل القانون العام للعلاقة بين الشغل والطاقة والذي ينص على أن الشغل المبذول بواسطة قوة غير محافظة يساوى التغير الكلى في الطاقة الميكانيكية.

Example
A 3kg block slides down a rough incline 1m in length as shown in the figure. The block starts from rest at the top and experience a constant force of friction of 5N. the angle of inclination is 30o. (a) Use energy methods to determine the speed of the block when it reach the bottom of the incline.


Solution
Wnc = Ef - Ei
Wnc = (Kf+Uf)-(Ki + Ui)
-f s = (1/2 mv2 + 0) - (0 + mgh)

ومن هذه المعادلة يمكن إيجاد السرعة النهائية للجسم المنزلق. كذلك لاحظ يمكن إيجاد السرعة النهائية باستخدام قانون نيوتن الثاني.
________________________________________
نهاية المحاضرة الحادية عشر
3‏/3‏/2010 تم النشر بواسطة بدون اسم.
10 من 15
المحاضرة (12)
The law of universal gravitation
قانون الجذب العام

وضع العالم نيوتن قانون الجاذبية العام بعد الرواية المشهورة عنه وهي سقوط التفاحة على رأسه بينما كان نائماً تحت شجرة، فتوصل إلى أن القوة التي أثرت على التفاحة لتسقط على الأرض هي نفس القوة التي تجذب القمر إلى الأرض. وتبين أيضاً أن قانون الجذب العام لنيوتن ينطبق على القوة المتبادلة بين الكواكب والأجسام المادية على حد سواء.

Newton’s universal law of gravity
Newton’s law of gravitational state that every particle in the universe attract every another particle with a force proportional to the product of their masses and inversely proportional to the square of the distance between them.
therefore,


where G is the gravitational constant, and it is equal,

To right the force of gravitation equation in the vector form we make use of the unit vector r12 which has the magnitude of unity and directed from the mass m1 to m2, the force on m2 due to m1 is given by



القوة المتبادلة بين كتلتين m1 و m2 هي ناتجة عن التأثير المتبادل بينهما وعليه فإن F21 هي قوة الجذب على الكتلة الثانية من تأثير الكتلة الأولى. كذلك فإن القوة F12 هي قوة الجذب على الكتلة الأولى من تأثير الكتلة الثانية وفي كلا الحالتين فإن القوتين متساويتان في المقدار ومتعاكستان في الاتجاه. ويعبر عن ذلك بالمعادلة التالية:
F21 = -F12
يمكن استخدام قانون الجذب العام لنيوتن لإيجاد القوة المتبادلة بين جسم كتلته m والكرة الأرضية، وهنا يتم التعامل مع كتلة الكرة الأرضية على أنها مركزة في المركز وتحسب المسافة من مركز الأرض إلى الجسم ويكون قانون الجذب العام هو

where Me is the mass of the earth and Re is the radius of the earth.
________________________________________
Example
Three uniform spheres of mass 2kg, 4kg, and 6kg are placed at the corners of a right triangle as shown in the Figure. Calculate the resultant gravitational force on the 4kg mass.

Solution
F4 = F42 +F46
The force on the 4kg mass due to the 2kg mass is



The force on the 4kg mass due to the 6kg mass is

hence,

________________________________________
Example
Two stars of masses M and 4M are separated by distance d. Determine the location of a point measured from M at which the net force on a third mass would be zero.

Solution
تى تكون القوى المؤثرة على الكتلة الثالثة m فإن القوتين المؤثرتين على الكتلة الثالثة يجب أن تكونا متساويتين في المقدار ومتعاكستين في الاتجاه. وهذا يتحقق عندما يكون موضع الكتلة الثالثة بين الكتلتين M و 4M وبالقرب من الكتلة الأصغر

Fm2 = Fm1

Solving for x then,
x = d/3
________________________________________

Weight and gravitational force
From Newton’s second law we define the weight as a kind of force equal to mg where m is the mass of the particle and g the acceleration due to gravity, we can define the weight using the Newton’s universal law of gravity as follow

Therefore the acceleration due to gravity can be found as

Substitute for the mass of earth Me = 5.98×1024kg and the radius of the earth Re = 6.38×106m

هنا يجب أن نذكر أن قوة الجاذبية بين كتلتين m1 و m2 هي من القوى ذات التأثير عن بعد action-at-a-distance وبالتالي يمكن أن نعتبر عجلة الجاذبية الأرضية على أنها مجال الجاذبية gravitational field ويمكن تعريف مجال الجاذبية الأرضية بأنها القوة المؤثرة على كتلة الجسم الموجود في مجال الجاذبية.

والإشارة السالبة تدل على أن مجال الجاذبية الأرضية في مركز الأرض دائماً.
For a body of mass m a distance h above the earth then the distance r in the equation of the law of gravity is r=Re+h

and the acceleration due to gravity at altitude (ارتفاع) h, is given by

نستنتج من ذلك أن عجلة الجاذبية الأرضية تقل مع زيادة الارتفاع عن سطح الأرض وتكون صفراً عندما تكون r في اللانهاية.
Gravitational potential energy
في الفصل السابق درسنا أن طاقة الوضع لجسم على سطح الأرض أو على ارتفاع h من سطح الأرض تساوي mgh وهذا عندما تكون h على مسافات قريبة من سطح الأرض أو عندما تكون h أصغر بكثير من نصف قطر الأرض.
سندرس الآن طاقة الوضع في مجال الجاذبية الأرضية عندما يتغير موضع الجسم من مكان إلى آخر بالنسبة لمركز الأرض كما في الشكل التالي

To move the particle of mass m from ri to rf in the gravitational field g a negative work W is done by an external agent since the external force Fex is in opposite direction of the displacement. Therefore the change in gravitational potential energy associated with a given displacement dr is defined as the negative work done by the gravitational force during the displacement,

When the particle move from ri to rf, it will be subjected to gravitational force given by

Substitute in equation 8.12 we get

Hence

Take Ui=0 at ri= we obtain the potential energy as a function of r from the centre of the earth

The potential energy between any two particles m1 and m2 is given by

نستنتج من المعادلة الأخيرة أن طاقة الوضع المتبادلة بين جسمين تتناسب عكسيا مع المسافة الفاصلة بينهما في حين أن قوة الجاذبية تتناسب عكسياً مع مربع المسافة بينهما.
تكون طاقة الوضع بين جسمين سالبة لأن القوة المتبادلة بينهما دائماً قوى تجاذبية، ويمكن أن نطلق على طاقة الوضع بين جسمين بطاقة الترابط Binding energy.


For more than two particles the potential energy can be evaluated by the algebraic sum of the potential energy between any two particles.



________________________________________
Example

A system consists of three particles, each of mass 5g, located at the corner of an equilateral triangle with sides of 30cm. (a) Calculate the potential energy of the system.

Solution

________________________________________‏
3‏/3‏/2010 تم النشر بواسطة بدون اسم.
11 من 15
المحاضرة (13)
Total Energy for circular orbital motion

When a body of mass m moving with speed v in circular orbit around another body of mass M where M>>m as the earth around the sun or satellite around the earth, the body of mass M is at rest with respect to the frame of reference. The total energy of the two body system is the sum of the kinetic energy and the potential energy.
E = K + U
*
From Newton’s second law F = ma where a is the is the radial acceleration therefore,
**
Multiply both sides by r/2

Substitute from equation ** into equation *, we get

The total energy for circular orbit

Note that the total energy is negative in a circular orbit. And the kinetic energy is positive and equal to one half the magnitude of the potential energy. The total energy called the binding energy for the system.


Escape velocity

باستخدام مفهوم الطاقة الكلية سنقوم بحساب سرعة الإفلات escape velocity من الجاذبية الأرضية. وسرعة الإفلات هي أقل سرعة ابتدائية لجسم يقذف رأسياً ليتمكن الجسم من الإفلات من مجال الجاذبية الأرضية.

Suppose an object of mass m is projected vertically upward from the earth with initial speed vi = v and ri = Re. When the object is at maximum altitude, vf = 0 and rf = rmax.
In this case the total energy of the system (Earth & object) is conserved, we can use the equation


solving for vi2 we get,


من هذه المعادلة إذا علمنا قيمة السرعة الابتدائية لانطلاق الجسم vi يمكن حساب أقصى ارتفاع يمكن أن يصل إليه الجسم h حيث أن h = rmax-Re.
لحساب سرعة الإفلات للجسم من مجال الجاذبية الأرضية مثل ما هو الحال عند إطلاق صاروخ فضائي أو مكوك من سطح الأرض إلى الفضاء الخارجي فإن سرعة الانطلاق الابتدائية التي يجب أن ينطلق بها المكوك يجب أن لا تقل عن سرعة الإفلات وإلا فإن المكوك سوف لن يصل إلى هدفه نتيجة لتأثير قوة الجاذبية. ولإيجاد سرعة الإفلات المطلوبة فإن ......

For the escape velocity the object will reach a final speed of vf = 0 when rmax= , therefore we substitute for vi=vesc and we get


Note that the escape velocity does not depends on the mass of the object projected from the earth.

This equation can be used to evaluate the escape velocity from any planet in the universe if the mass and the radius of the planet are known.

Escape velocities for the planets
Planet vesc (km/s)
Mercury 4.3
Venus 10.3
Earth 11.2
Moon 2.3
Mars 5.0
Jupiter 60
Saturn 36
Uranus 22
Neptune 24
Pluto 1.1
Sun 618
Escape velocities for the planets
________________________________________
Example
(a) Calculate the minimum energy required to send a 3000kg spacecraft from the earth to a distance point in space where earth’s gravity is negligible. (b) If the journey is to take three weeks, what average power would the engine have to supply?
Solution

________________________________________
Example
A spaceship is fired from the Earth’s surface with an initial speed of 2×104 m/s. What will its speed when it is very far from the Earth? (Neglect friction.)
Solution
Energy is conserved between the surface and the distant point
(K+Ug)i + Wnc = (K+Ug)f

________________________________________
Example
Two planets of masses m1 and m2 and radii r1 and r2, respectively, are nearly at rest when they are an infinite distance apart. Because of their gravitational attraction, they head toward each other on a collision course. (a) When their center-to-center separation is d, find expressions for the speed of each planet and their relative velocity. (b) Find the kinetic energy of each planet just before they collide, if m1=2×1024 kg, m2=8×1024 kg, r1=3×106 m, and r2=2×106 m
Solution
(a) At infinite separation, U=0; and at rest, K=0. Since energy is conserved, we have

The initial momentum is zero and momentum is conserved. Therefore

Combine equations (1) and (2) to find v1 and v2

The relative velocity is

(b) Substitute for the given value for v1 and v2 we find that
v1 = 1.03×104 m/s and v2= 2.58×103 m/s.
Therefore,
3‏/3‏/2010 تم النشر بواسطة بدون اسم.
12 من 15
الفيزياء
19‏/1‏/2011 تم النشر بواسطة 45445.
13 من 15
طريقة الاستعمال الالةالحسبة فىالفيزياء
19‏/1‏/2011 تم النشر بواسطة 45445.
14 من 15
طرق استعمل الالة الحسبة
19‏/1‏/2011 تم النشر بواسطة 45445.
15 من 15
الله يعينكم
5‏/3‏/2011 تم النشر بواسطة بدون اسم.
قد يهمك أيضًا
ما هو ثابت الجذب العام
كيف يمكن استخدام ثابت الجذب العام حيث ان النواتج غريبه ؟ممكن مثل يشرح بالتفصيل
كم كتلة الارض الذي اكتشفها كافندش ؟
ما هو قانون الجذب الفكري؟
مـا الافضـل في التـعامل :: أسلوب الـدفع أمـ أسلوب الجـذب ..?!
تسجيل الدخول
عرض إجابات Google في:: Mobile | كلاسيكي
©2014 Google - سياسة الخصوصية - مساعدة